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APLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES

14 octubre 2009

MATEMATICAS III

APLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES

Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contradominio es un conjunto de vectores.

x= f (t) x=g (t) x=h (t)

A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en:

* Geometría
* Física
* Ingeniería

Las aplicaciones goemétricas incluyen la longitud de arco, vectores tangentes, normales a una curva y curvatura.

En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo.

DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL:

Sean f, g y h, funciones reales de la variable real t. Entonces se define la funcion vectorial R mediante:

R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k

donde t es un número real del dominio común de f, g y h. En el plano, se define una funcion vectorial R mediante:

R(t)= f (t) i + g (t) j

Donde t pertecene al dominio común de f y g.

Por ejemplo:

R(t)= f (t) i + g (t) j

R(t)= (4-t2)i + (t2+4t) j

x = 4 – t 2 y = t 2 + 4 t

1

La ecuación vectorial de una curva proporcionada a una dirección a la curva en cada punto. Esto si se piensa que la curva esta descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro t aumenta. En tal caso, t puede ser una medida de tiempo, de modo que el vector R(t) se le llama vector de posición.
Al eliminar t de las ecuaciones parámetricas se obtiene dos ecuaciones en x , y y z, son ecuaciones cartesianas de la curva C. La gráfica de la ecuación cartesiana es una superficie, y C es la intersección de dos superficies. Las ecuaciones de cuales quiera dos superficies que contienen C pueden considerarse como las ecuaciones que definen C.

DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Sea :
R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k

Entonces el límite R(t) cuando tiende a a esta definido por

lim R(t) = [ lim f (t) ]i + [lim g (t) ] j + [lim h (t) ]k
t a t a t a t a

si lim f (t) i, g (t) j, h (t) k existen
t a t a t a

Esta función se aplican a las funciones vectoriales del plano a considerar la componente K como cero(0).

Por ejemplo:

si R(t)= cos t i + 2et j + 3k
lim R(t) =[ lim cos t ]i + [lim 2et] j + [lim 3 ]k
t 0 t 0 t 0 t 0

= i+2j+k

Considere la siguiente figura a fin de obtener una interpretación geométrica de la definicion de límite de una función vectorial. Donde R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k, lim f(t) = a1, lim g (t) =a2, lim h (t) =a3,
t a t a t a

y L =a1 i, a2 j, a3 k. La función vectorial R define la curva C, la cual contiene los puntos Q=f (t) , g (t) , h (t) y p=(a1 , a2 , a3 ). Las representaciones de los vectores R y L, son respectivamente vector OQ y vector OP, confirme t se aproxima a a R(t) tiende a L, de modo que el punto Q se aproxima al punto P a lo largo de C.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
La función vectorial R es continua al número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
I.- R(a)existe
II.- lim R(t) existe;
t a
III.- lim R(t) =R(a) ;
t a

De esta definición, una definición vectorial es continua en el número a si y solo si sus componentes reales son continuas en a.

Por ejemplo:
determine los números en los que la siguiente función es continua:
R(t)= sen t i+ ln t j + t 2 – 1 k
t -1

Solución:
Puesto que sen t está definido para todos los números reales, ln t está definida sólo cuando t>0, y y(t 2 – 1 )/(t – 1 ) está definida en todo número real distinto de 1, el dominio de R es {t | t >0 y t ≠ 1}. Si a es cualquier número del dominio de R entonces:
R(a)= sen a i+ ln a j +( a+1) k
R(t)= sen t i + ln t j + t 2 – 1 k
t -1
t a t a t a

R(a)= sen a i+ ln a j +( a+1) k

Así lim R(t) = R(a), y R es continua en a.

Por lo tanto, la función vectorial R es continua en cada número de su dominio.

VECTOR TANGENTE UNITARIO
Ahora se asociarán a cada punto de una curva de dos vectores, el vector tangente unitario y el vector normal unitario. Estos vectores aparecen en muchas aplicaciones de las funciones vectoriales.

DEFINICION DE VECTOR TANGENTE UNITARIO
Si R(t) es el vector de posición de una curva C en el punto P de C el Vector Tangente Unitario de C en P, denotado por T(t), es el vector unitario en la dirección de Dt R(t) si Dt R(t) ≠ 0.
Como el vector unitario en la dirección de Dt R(t) está dado por Dt R(t) / || Dt R(t) ||, entonces:
T(t) = Dt R (t)
|| Dt R(t) ||

T(t) es el vector unitario, Dt R(t) debe ser ortogonal a T(t). Mientras Dt T(t) que no necesariamente el un vector unitario, el vector Dt T(t) / || Dt T(t) || es unitario y tiene la misma dirección de Dt T(t). Por tanto, Dt T(t) / || Dt T(t) || es un vector ortogonal a T(t), y se denomina vector normal unitario.

DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL UNITARIO
Si T(t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C el Vector Normal Unitario, denotado por N(t), es el vector unitario en la dirección de Dt T(t) .

N(t)= Dt N (t)
|| Dt N(t) ||

Ejemplo:
Calcule T(t) y N(t) para la curva que tiene la ecuación vectorial.
R(t)=(t 3 – 3t)i + 3 t 2 j

Dibuje una porcion de la curva que contenga al punto donde t=2 y las representaciones de t(2) y N(2) cuyo punto inicial es pra el cual t=2.

Dt R (t)=(3t 2 – 3)i + 6 t j || Dt N(t) ||= √ (3t 2 – 3)2i + (6 )2
= √ (3t 2 – 3)2i + 36 t 2 = √ 9 ( t 4 – 2t2)i + 1= 3 ( t 2 )i + 1
De(1):

T(t)= Dt R (t) = t 2 – 1 i + 2t j
|| Dt R(t) || t 2 + 1 t 2 + 1

al diferenciar T(t) con respectoa t se obtiene.

Dt T (t) = 4t i + 2 – 2 t 2 j
(t 2 + 1)2 (t 2 + 1)2

Por tanto:
||Dt T (t) ||= √16 t 2 + 4 – 8 t 2 + 4 t 4
(t 2 + 1)4 ( t 2 + 1)4

=√ 4 + 8 t 2 + 4 t 4=√ 4( t 2 + 1)2 = 2
( t 2 + 1)4 ( t 2 + 1)4 t 2 + 1

CURVATURA

Es un proceso importante en el estudio de la geometría diferencial y del movimiento rectilíneo. Dicho concepto proporciona la tasa de variacion o cambio de la dirección de una curva con respecto a la variacion en su logitud.

El estudio de la curvatura se inicia en la curva plana C, y se considera que Ø radianes es la medida del ángulo, medido en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, desde la dirección del eje x positivo hasta la dirección del vector tangente unitarioT(t) en el punto P de C.
A continuación veremos un ejemplo de ello en el cual se muestra Ø y T(t) donde s unidades es la longitud del arco a partir de un punto P0 de C hasta P. En el punto Q de C, la medida en radianes del ángulo que determina la dirección de T(t+ ∆t) es Ø + ∆Ø y s + ∆s unidades es la longitud de arco de P0 a Q.

CURVATURA
DEFINICION DEL VECTOR CURVATURA Y CURVATURA

Si T(t) es el vector tangente unitario a una curva C en un punto P, s es la longitud de arco medida desde un punto P de C elegido arbitrariamente y s crece conforme t se incrementa, entonces el vector curvatura de C en P, denotado por K(t ) se define como:

K(t )=DsT(t)

La curvatura de C en P, denotado por K(t ), es el modulo del vector curvatura esto es:
K(t )=||DsT(t) ||

con el fin de obtener el vector curvatura para una curva particular conviene tener una fórmula que exprese el vector curvatura en términos de las derivadas con respecto a t, esto es por medio de la regla de la cadena:

Dt T(t) =DsT(t) ds
dt

En esta parte utilizamos el primer toerema fundamental del cálculo :

ds =||DtT(t) ||
dt

Si el parámetro de la ecuación vectorial de C es s en lugar de t, se obtiene de esta ecuación, al considerar t=s y observando que ds/ds =1.

Dt T(t) =[DtT(t)]||DtT(t) ||

Ds T(t) = [ DtT(t) ]
||DtT(t) ||

Al sustituir esta ecuacón en la fórmula K(t ) se obtiene
K(t )= [ DtT(t) ]
||DtT(t) ||

como K(t )=||K(t )||, la curvatura esta dada por

K(t )= [ DtT(t) ]
||DtT(t) ||

A continuación se muestra un ejemplo:

Dada la circunferencia de radio a.

R(t)= a cos t i + a sen t j a>0

Determine el vector curvatura y curvatura para cualquier valor de t.

Solución:

DtR(t) = -sen t i + a cos t j ||DtR(t)||=√(- a sen t i)2 + (a cos t)2
=a

Por lo tanto:

T(t) = DtT(t) DtR(t) = -cos t i – a sen t j
||DtT(t) ||

= -cos t i – a sen t j

DtT(t) = -cos t i – a sen t j
||DtT(t) || a a

en consecuencia, el vector curvatura y la curvatura estan dadas por:

K(t )= – 1 cos t i – 1 cos t i K(t )=||K(t )||= 1
a a a

El resultado afirma que la curvatura de una circunferencia es constante.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

En los temas anteriores acerca del moviemiento de partícula , este se restringuio al movimiento rectilíneo. Ahora se considera el movimiento de una partícula a lo largo de una curva denominado movimiento curvilíneo.
Supongo que C es la curva cuya ecuación vectorial es:

R(t )=f (t) i + g (t) j + h (t) k

Donde t se denota el tiempo. Conforme t varia el punto terminal P de el vector OP describe la curva C, de modo que la posición de una partícula, que se mueve a a lo largo de C, en el tiempo t unidades en el punto P(f (t) + g (t) + h (t) ). A continuación se definira el vector velocidad y vector aceleracion.

DEFINICIÓN DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN MOVIMIENTO CURVILINEO

Sea C la curva cuya ecuación vectorial es.

R(t )=f (t) i + g (t) j + h (t) k

Si una partícula se mueve a lo largo de C de modo que su posición en cualquier tiempo t unidades en el punto P(f (t) + g (t) + h (t) ), entonces el vector velicidad V(t) y el vector aceleracion A(t) en el punto C se define como:

V(t )= R´(t ) V(t )=f ´(t) i + g ´(t) j + h ´(t) k
A(t )=R´´(t ) A(t )=f ´´(t) i + g ´´(t) j + h ´´(t) k A(t )=V´(t )

donde R´´(t ) existe

Puesto que la dirección de R´(t ) en el punto P es la misma que la de la recta tangente a la curva en P, entonces el vector velocidad V(t ) tiene esta la direccón en P.

El módulo o intensidad(o tambien magnitud ), del vector velocidad, ||V(t )||, es una medida de la rapidez de la partícula.

A continuación les mostraremos la representación de los vectores velocidad y aceleración en el punto P de C.

mov rec

Ejemplo:

Una partícula se mueve a lo largo de una curva plana que tiene la ecuación vectorial.

R(t )=4 cos 1/2 t i + 4 sen 1/2 t j

Calcule la rapidez de la partícula y el módulo del vector aceleración de la partícula de los t segundos de distancia se mide en centímetros. Dibuje la trayectoria de la partícula y las representaciones de los vectores velocidad y aceleración en el punto donde t=1/3 π.

Solución:
Al calcular V(t ) y A(t ) se tiene:
V(t )=R´(t ) = -2sen 1/2 t i+ 2 cos 1/2 t j
||V(t )|| = √ (-2sen 1/2 t)2 +( 2 cos 1/2 t)2
||V(t )|| = √ (4sen2 1/2 t) +( 4 cos 21/2 t)
||V(t )|| = 2

A(t )=R´(t ) = -cos 1/2 t i- sen 1/2 t j
||A(t )|| = √ (-cos 1/2 t)2 + (-sen 1/2 t )2
||A(t )|| = 1

Por lo tanto, la rapidez de la partícula es constante e igual a 2 cm/s. El módulo del vector aceleración tambien es constante e igual a 1cm/s.

Las ecuaciones paramétricas de C son:
x= 4sen2 1/2 t y=( 4 cos 21/2 t) 0<=1 <=4
Al eliminar el parámetro t de estas ecuacines se obtiene la ecuación cartesiana:
x 2 + y 2=16

La cual es la ecuación de la circunferencia con el centro en el origen y radio 4. Ahora se determinaran los vectores velocidad y aceleración en t=1/3 π.

V(1/3 π )= -2sen 1/6 t i+ 2 cos 1/6 t j= – i + √3j
A(1/3 π)= -1/2cos 1/6 t i- 1/2sen 1/6 t j= -1/2 √3 i – 1/2 j

La dirección de V(1/3 π ) esta determinada por :

tan θ1=- √3 1/2 π < θ1 < π

y la dirección de A(1/3 π ) esta dada por:
tan θ2=- 1 π < θ2 < 3/2π
– √3
Así el ángulo θ1= 2/3π y θ2=7/6π, a continuación veremos la siguiente trayectoria de las partículas y sus representaciones de los vectores velocidad y aceleración que tienen punto inicial para el cual t=1/3 π.

 

A continuacón veremos las aplicaciones en la física E ingenieria

FISICA E INGENIERÍA

MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

VECTOR POSICIÓN R EN UN INSTANTE T

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Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t’ se encuentra en el punto P’, su posición viene dada por el vector r’.
Diremos que el móvil se ha desplazado Dr=r’-r en el intervalo de tiempo Dt=t’-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P´.

VECTOR VELOCIDAD

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El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Dr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Dt.

= r´-r = ∆ r
t´-t ∆ t

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media entre los instantes t y t1.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

v= lim ∆ r = dr
∆ t 0 ∆ t dt

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2….., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

13

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

VECTOR ACELERACIÓN

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En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.
En el instante t’ el móvil se encuentra en el punto P’ y tiene una velocidad v’.
El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia Dv=v’-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Dv y el intervalo de tiempo Dt=t’-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

= v´-v = ∆ v
t´-t ∆ t
Y la aceleración a en un instante

A= lim ∆ v = dv
∆ t 0 ∆ t dt

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

A continuación mostraremos un ejemplo:

Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en función del tiempo vienen dadas por las expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si en el instante inicial t0=0 s, el móvil se encontraba en la posición x0=1, y0=2 m. Calcular:
· Las componentes de la aceleración en cualquier instante
ax= dvx =12t2+4m/s2
dt
ay= dvy =4m/s2
dt

COMPONENTE TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN

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Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.

· Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.
· Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.
· Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.
· Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.
· Se determina el ángulo q entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cosq  y  an=a senq

A continuación mostraremos otro ejemplo:
El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración
vx =3t-2 m/s,   ax=3 m/s2
vy=6t2-5 m/s,  ay=12t m/s2

2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son
vx =4 m/s,   ax=3 m/s2
vy=19 m/s,  ay=24 m/s2

3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración

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4. Calculamos el ángulo q  que forman el vector velocidad y el vector aceleración
· Por el producto escalar: v·a=v·a·cosq
· Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ángulos
5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración
at=a·cosq =24.1 m/s2
an=a·senq=2.0 m/s2
Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.
v·a=va·cosθ=v·at
at=v.a= vxax+vyay
v √v2x+v2y

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at
a2n=a2-a2t=a2x+a2y- (vxax+vyay)2
v2x+v2y

an=axvy-ayvx
√v2x+v2y

BIBLIOGRAFÍA:

PAG 889,891,894,895,907,908,913,914,915,916,,918,922,923 y 924
Calculo de Louis Leithol 7e

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/curvilineo/curvilineo.htm


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